UD 1

 

1. Divisibilidad

• ¿Qué significa divisible?
  Si un número se puede dividir entre otro sin que sobre nada, decimos que es divisible por ese número.
  Ejemplo: $30 \div 5 = 6$. El número 30 es divisible por 5 porque el resultado es un número entero (6).

2. Descomposición en Factores Primos con Barra Vertical

Para descomponer un número en factores primos, seguimos dividiendo el número por los números primos más pequeños (2, 3, 5, 7, etc.) hasta llegar a 1. Lo haremos con una barra vertical en el lado derecho del número.

30 | 2  

15 | 3  

 5 | 5  

 1

Paso 1: Dividimos 30 por 2 (el número primo más pequeño).
$30 \div 2 = 15$.

Paso 2: Dividimos 15 por 3 (el siguiente número primo).
$15 \div 3 = 5$.

Paso 3: Dividimos 5 por 5 (número primo).
$5 \div 5 = 1$.

Resultado: La descomposición de $30 = 2 \times 3 \times 5$.

3. Máximo Común Divisor (MCD)

Para calcular el MCD, necesitamos descomponer ambos números en factores primos usando la barra vertical y luego tomar los factores comunes con el menor exponente.

Ejemplo: MCD de 72 y 108

• Descomposición de 72

Ejemplo: MCD de 72 y 108

• Descomposición de 72

72 | 2  
36 | 2  
18 | 2  
 9 | 3  
 3 | 3  
 1

$72 = 2^3 \times 3^2$

• Descomposición de 108

108 | 2  
 54 | 2  
 27 | 3  
  9 | 3  
  3 | 3  
  1

$108 = 2^2 \times 3^3$

• Paso 3: Tomamos los factores comunes con el menor exponente:
• Factor 2: $2^2$
• Factor 3: $3^2$
  Resultado:
  MCD = $2^2 \times 3^2 = 36$

4. Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Para calcular el MCM, descomponemos ambos números en factores primos usando la barra vertical, pero esta vez tomamos todos los factores con el mayor exponente.

Ejemplo: MCM de 72 y 108

• Descomposición de 72
  $72 = 2^3 \times 3^2$

• Descomposición de 108
  $108 = 2^2 \times 3^3$

• Paso 3: Tomamos todos los factores con el mayor exponente:

  • Factor 2: $2^3$
  • Factor 3: $3^3$
    Resultado:
    MCM = $2^3 \times 3^3 = 216$

Ejercicio 1: Comprobar si existe relación de divisibilidad

Para este ejercicio, debes dividir los números y comprobar si la división es exacta, es decir, si el cociente es un número entero.

a) $168 ÷ 14$

• Paso 1: Divide 168 entre 14:
  $\frac{168}{14} = 12$
• Resultado: Como el resultado es un número entero (12), 168 es divisible por 14.

b) $98 ÷ 12$

• Paso 1: Divide 98 entre 12:
  $\frac{98}{12} = 8.16$
• Resultado: Como el resultado no es un número entero (8.16), 98 no es divisible por 12.

c) $84 ÷ 7$

• Paso 1: Divide 84 entre 7:
  $\frac{84}{7} = 12$
• Resultado: Como el resultado es un número entero (12), 84 es divisible por 7.

d) $51 ÷ 17$

• Paso 1: Divide 51 entre 17:
  $\frac{51}{17} = 3$
• Resultado: Como el resultado es un número entero (3), 51 es divisible por 17.

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Ejercicio 2: Escribe dos múltiplos y dos divisores

En este ejercicio, primero recordamos que los múltiplos de un número son el resultado de multiplicarlo por números naturales (1, 2, 3, etc.), y los divisores son los números que dividen exactamente al número dado.

a) 24

• Múltiplos:
  • 24 × 2 = 48
  • 24 × 3 = 72
• Divisores:
  • 24 ÷ 1 = 24
  • 24 ÷ 2 = 12
  • Otros divisores: 3, 4, 6, 8

b) 35

• Múltiplos:
  • 35 × 2 = 70
  • 35 × 3 = 105
• Divisores:
  • 35 ÷ 1 = 35
  • 35 ÷ 5 = 7

c) 144

• Múltiplos:
  • 144 × 2 = 288
  • 144 × 3 = 432
• Divisores:
  • 144 ÷ 1 = 144
  • 144 ÷ 2 = 72
  • Otros divisores: 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72

d) 72

• Múltiplos:
  • 72 × 2 = 144
  • 72 × 3 = 216
• Divisores:
  • 72 ÷ 1 = 72
  • 72 ÷ 2 = 36
  • Otros divisores: 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36

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Ejercicio 3: Descomponer en factores primos

Para descomponer un número en factores primos, seguimos dividiendo entre los números primos más pequeños hasta llegar a 1.

a) 66

• Paso 1: $66 ÷ 2 = 33$ (dividimos por el número primo más pequeño, que es 2).
• Paso 2: $33 ÷ 3 = 11$ (el siguiente número primo que divide a 33 es 3).
• Paso 3: El 11 es primo, por lo que terminamos la descomposición.
• Resultado: $66 = 2 × 3 × 11$

b) 160

• Paso 1: $160 ÷ 2 = 80$
• Paso 2: $80 ÷ 2 = 40$
• Paso 3: $40 ÷ 2 = 20$
• Paso 4: $20 ÷ 2 = 10$
• Paso 5: $10 ÷ 2 = 5$
• Paso 6: El 5 es primo.
• Resultado: $160 = 2^5 × 5$

c) 168

• Paso 1: $168 ÷ 2 = 84$
• Paso 2: $84 ÷ 2 = 42$
• Paso 3: $42 ÷ 2 = 21$
• Paso 4: $21 ÷ 3 = 7$
• Paso 5: El 7 es primo.
• Resultado: $168 = 2^3 × 3 × 7$

d) 450

• Paso 1: $450 ÷ 2 = 225$
• Paso 2: $225 ÷ 3 = 75$
• Paso 3: $75 ÷ 3 = 25$
• Paso 4: $25 ÷ 5 = 5$
• Paso 5: $5 ÷ 5 = 1$
• Resultado: $450 = 2 × 3^2 × 5^2$

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Ejercicio 4: Factoriza los números propuestos

Aquí se pide la factorización en números primos de algunos números.

a) 253

• Paso 1: Probamos con 11, que es un número primo:
  $253 ÷ 11 = 23$
• Paso 2: El 23 es un número primo.
• Resultado: $253 = 11 × 23$

b) 169

• Paso 1: El 169 es un cuadrado perfecto:
  $169 = 13 × 13$
• Resultado: $169 = 13^2$

c) 187

• Paso 1: Probamos con 11, que es un número primo:
  $187 ÷ 11 = 17$
• Paso 2: El 17 es un número primo.
• Resultado: $187 = 11 × 17$

d) 242

• Paso 1: Probamos con 2, ya que 242 es par:
  $242 ÷ 2 = 121$
• Paso 2: El 121 es un cuadrado perfecto:
  $121 = 11 × 11$
• Resultado: $242 = 2 × 11^2$

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Ejercicio 5: Calcula el MCD de estos números

Para calcular el MCD (Máximo Común Divisor) entre dos números, descomponemos ambos números en factores primos y tomamos los factores comunes con el menor exponente.

a) MCD(81, 108)

• $81 = 3^4$
• $108 = 2^2 × 3^3$
• Factores comunes: $3^3$
• Resultado: $MCD(81, 108) = 27$

b) MCD(56, 84)

• $56 = 2^3 × 7$
• $84 = 2^2 × 3 × 7$
• Factores comunes: $2^2 × 7$
• Resultado: $MCD(56, 84) = 28$

c) MCD(64, 88)

• $64 = 2^6$
• $88 = 2^3 × 11$
• Factores comunes: $2^3$
• Resultado: $MCD(64, 88) = 8$

d) MCD(168, 216)

• $168 = 2^3 × 3 × 7$
• $216 = 2^3 × 3^3$
• Factores comunes: $2^3 × 3$
• Resultado: $MCD(168, 216) = 24$

Ejercicio 6: Calcula el MCM (Mínimo Común Múltiplo)

Para calcular el MCM de dos números, descomponemos ambos números en factores primos y tomamos todos los factores con el mayor exponente.

a) MCM (27, 36)

• Paso 1: Descomponemos ambos números en factores primos:
  $27 = 3^3$
  $36 = 2^2 \times 3^2$
• Paso 2: Tomamos el mayor exponente de cada factor:
  • El factor 2 aparece solo en 36, con exponente $2^2$.
  • El factor 3 aparece en ambos, pero tomamos el mayor exponente, que es $3^3$.
• Paso 3: Multiplicamos los factores:
  $MCM = 2^2 \times 3^3 = 4 \times 27 = 108$
• Resultado: $MCM(27, 36) = 108$

b) MCM (72, 100)

• Paso 1: Descomponemos ambos números en factores primos:
  $72 = 2^3 \times 3^2$
  $100 = 2^2 \times 5^2$
• Paso 2: Tomamos el mayor exponente de cada factor:
  • El factor 2 tiene el mayor exponente en 72, $2^3$.
  • El factor 3 aparece solo en 72, con exponente $3^2$.
  • El factor 5 aparece solo en 100, con exponente $5^2$.
• Paso 3: Multiplicamos los factores:
  $MCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = 1800$
• Resultado: $MCM(72, 100) = 1800$

c) MCM (126, 392)

• Paso 1: Descomponemos ambos números en factores primos:
  $126 = 2 \times 3^2 \times 7$
  $392 = 2^3 \times 7^2$
• Paso 2: Tomamos el mayor exponente de cada factor:
  • El factor 2 tiene el mayor exponente en 392, $2^3$.
  • El factor 3 aparece solo en 126, con exponente $3^2$.
  • El factor 7 tiene el mayor exponente en 392, $7^2$.
• Paso 3: Multiplicamos los factores:
  $MCM = 2^3 \times 3^2 \times 7^2 = 8 \times 9 \times 49 = 3528$
• Resultado: $MCM(126, 392) = 3528$

d) MCM (154, 175)

• Paso 1: Descomponemos ambos números en factores primos:
  $154 = 2 \times 7 \times 11$
  $175 = 5^2 \times 7$
• Paso 2: Tomamos el mayor exponente de cada factor:
  • El factor 2 aparece solo en 154, con exponente $2^1$.
  • El factor 5 aparece solo en 175, con exponente $5^2$.
  • El factor 7 aparece en ambos, pero tomamos $7^1$.
  • El factor 11 aparece solo en 154, con exponente $11^1$.
• Paso 3: Multiplicamos los factores:
  $MCM = 2 \times 5^2 \times 7 \times 11 = 2 \times 25 \times 7 \times 11 = 3850$
• Resultado: $MCM(154, 175) = 3850$

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Ejercicio 7: Calcula el MCD y el MCM de las descomposiciones

En este ejercicio, trabajamos con las descomposiciones de dos números y calculamos tanto el MCD como el MCM.

a) Descomposición: $2^2 \times 3$, $2^3 \times 3^2 \times 5$

• MCD: Tomamos los factores comunes con el menor exponente. Aquí, ambos números tienen los factores 2 y 3:
  $MCD = 2^2 \times 3 = 12$
• MCM: Tomamos todos los factores con el mayor exponente:
  $MCM = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$

b) Descomposición: $7 \times 23$, $2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 23$

• MCD: El único factor común es $23$, por lo que el MCD es 23.
• MCM: Tomamos todos los factores con el mayor exponente:
  $MCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 7 \times 23 = 14400$