ACTIVIDADES DE REPASO

 6. Óscar ha comprado varias docenas de huevos. ¿Cuántos huevos ha adquirido si se trata de un número que está entre 90 y 100?

Este problema se puede resolver si sabemos que una docena de huevos son 12 huevos. Buscamos un número que esté entre 90 y 100 que sea múltiplo de 12.

Si calculamos los múltiplos de 12:

• $12 \times 7 = 84$
• $12 \times 8 = 96$
• $12 \times 9 = 108$

El único múltiplo de 12 que está entre 90 y 100 es 96.

Por lo tanto, Óscar ha adquirido 96 huevos.

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7. Eva ha cambiado las guirnaldas de luces de Navidad por unas de bajo consumo que producen destellos. Las rojas producen un destello cada 9 segundos, las verdes cada 6 segundos y las azules cada 8 segundos. Si se conectan al mismo tiempo, ¿cuántas veces coinciden los tres destellos en 1 minuto?

Para que los tres destellos coincidan, tenemos que calcular el mínimo común múltiplo (mcm) de los tiempos: 9, 6 y 8 segundos.

• Factores de 9: $9 = 3^2$
• Factores de 6: $6 = 2 \times 3$
• Factores de 8: $8 = 2^3$

El mcm toma los factores comunes y no comunes con su mayor exponente:

• mcm(9, 6, 8) = $2^3 \times 3^2 = 72$

Entonces, los destellos coinciden cada 72 segundos.

En 1 minuto (60 segundos), no alcanzan a coincidir, ya que 72 segundos es mayor que 60 segundos. Así que en 1 minuto no coinciden los tres destellos.

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8. En un almacén de aluminio existe un sobrante de perfiles. Disponen de perfiles de 1,20 metros, de 150 centímetros y de 180 centímetros. La empresa decide aprovecharlos cortándolos en trozos iguales de la mayor longitud posible. ¿Cuál es esa medida?

Este problema se resuelve calculando el máximo común divisor (MCD) de 120 cm (1,20 metros), 150 cm y 180 cm.

• Factores de 120: $120 = 2^3 \times 3 \times 5$
• Factores de 150: $150 = 2 \times 3 \times 5^2$
• Factores de 180: $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

El MCD es el producto de los factores comunes con el menor exponente:

• MCD(120, 150, 180) = $2 \times 3 \times 5 = 30$

Por lo tanto, la mayor longitud posible es 30 cm.

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13. Determina estos opuestos.

El opuesto de un número es simplemente su inverso aditivo, es decir, cambiar su signo.

• a) $op(-14) = 14$
• b) $op(+99) = -99$
• c) $op(+35) = -35$
• d) $op(-101) = 101$
• e) $op(-43) = 43$
• f) $op(-35) = 35$

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14. Halla los siguientes opuestos y valores absolutos.

El valor absoluto de un número es la distancia de ese número al 0 en la recta numérica, independientemente de su signo.

• a) $op(op(-12)) = op(12) = -12$
• b) $op(op(+12)) = op(-12) = 12$
• c) $|op(+12)| = |op(-12)| = |12| = 12$
• d) $|op(-12)| = |op(12)| = |-12| = 12$

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23. Calcula.

• a) $-12 + (15 - 20) + 3 = -12 + (-5) + 3 = -17 + 3 = -14$
• b) $14 - (3 - 7) + (4 - 7 - 6) + 1 = 14 - (-4) + (-9) + 1 = 14 + 4 - 9 + 1 = 10$

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24. Joan tiene un saldo en el banco de 235 euros y tiene que pagar tres facturas: una de 195 euros, otra de 73 euros y otra de 45 euros. ¿Qué saldo le quedará finalmente en la cuenta?

• Saldo inicial: 235 euros
• Total de facturas: $195 + 73 + 45 = 313$

Joan tiene que pagar más de lo que tiene en la cuenta:

• Saldo final: $235 - 313 = -78$

Joan tendrá un saldo de -78 euros.

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31. Úrsula tiene una cuenta bancaria que solo utiliza para pagar un préstamo que solicitó para emprender un negocio. Cada mes, en su extracto aparece el dato: -125 euros, que corresponde a los 125 euros que paga por su préstamo.

• a) ¿Cuánto variaría su saldo después de pagar el préstamo durante un año?

En un año hay 12 meses, por lo que:

• $125 \times 12 = 1500$

El saldo disminuirá en 1500 euros después de un año.

• b) Si su saldo ha bajado 875 euros, ¿cuántos meses de préstamo ha pagado?

Dividimos la cantidad bajada entre lo que paga cada mes:

• $\frac{875}{125} = 7$

Úrsula ha pagado 7 meses de préstamo.

59. Alicia abre una cuenta en el banco e ingresa en ella 125 euros cada mes. Si en este momento tiene 875 euros en la cuenta, indica mediante una expresión matemática las siguientes situaciones.

a) Los meses que lleva la cuenta activa.

Sabemos que Alicia deposita 125 euros cada mes y tiene 875 euros en la cuenta. Para calcular los meses que lleva depositando dinero, dividimos el total del dinero por la cantidad depositada mensualmente:

$$\frac{875}{125} = 7$$

Por lo tanto, lleva 7 meses con la cuenta activa.

b) El dinero que tenía hace tres meses.

Si cada mes deposita 125 euros, el dinero que tenía hace 3 meses es el resultado de restar lo ingresado en esos tres meses a los 875 euros que tiene ahora:

$$875 - (3 \times 125) = 875 - 375 = 500$$

Hace tres meses, Alicia tenía 500 euros en la cuenta.

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42. Expresa en forma de potencia única.

a) $(-2)^4 \cdot 6^4$

Ambas bases están elevadas al mismo exponente, por lo que podemos combinarlas en una sola potencia:

$$(-2 \cdot 6)^4 = (-12)^4$$

b) $(-3)^5 \cdot (-5)^5$

Aquí, nuevamente, ambas bases tienen el mismo exponente, lo que nos permite combinarlas en una sola potencia:

$$(-3 \cdot -5)^5 = (15)^5$$

c) $18^7 \cdot (-2)^7$

Las bases tienen el mismo exponente, por lo que podemos combinarlas en una sola potencia:

$$(18 \cdot -2)^7 = (-36)^7$$

d) $\frac{(-24)^6}{(-6)^6}$

Aquí, al ser una división de potencias con el mismo exponente, podemos simplificar dividiendo las bases:

$$\left(\frac{-24}{-6}\right)^6 = (4)^6$$

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43. Escribe las siguientes operaciones como potencia única de base positiva.

a) $(-2)^5 \cdot 6^5$

Podemos combinar las bases, ya que tienen el mismo exponente:

$$(-2 \cdot 6)^5 = (-12)^5$$

Para expresar como base positiva, recordamos que $(-12)^5 = -(12)^5$.

Por lo tanto, la potencia única con base positiva es:

$$-(12)^5$$

b) $(-2)^5 \cdot (-6)^5$

Aquí, combinamos las bases:

$$(-2 \cdot -6)^5 = (12)^5$$

c) $2^5 \cdot (-6)^5$

Ambas bases tienen el mismo exponente, así que podemos combinarlas:

$$(2 \cdot -6)^5 = (-12)^5$$

Expresando como base positiva:

$$-(12)^5$$

d) $(-12)^3 \cdot (-6)^3$

Combinamos las bases:

$$(-12 \cdot -6)^3 = (72)^3$$

e) $12^3 \cdot 6^3$

Combinamos las bases:

$$(12 \cdot 6)^3 = (72)^3$$

f) $(-12)^3 \cdot 6^3$

Combinamos las bases:

$$(-12 \cdot 6)^3 = (-72)^3$$

Para expresar como base positiva:

$$-(72)^3$$